аксиома

Значение слова аксиома

Считается, что термин аксиома ввел в оборот древнегреческий философ Аристотель. Начиная с древних греков понятие аксиома стало рассматриваться как вечная и непреложная априорная истина, так как тогда еще не приходило в голову, что истинность аксиомы обусловлена многовековым человеческим опытом в практической познавательной деятельности.

Слово аксиома перешло в русский язык из греческого языка и сегодня определение аксиома записано во многих словарях, как исходное положение научной теории, принимаемое в качестве истинного без логического доказательства и лежащее в основе доказательства других положений этой теории.

Аксиома что это простыми словами - «истина, очевидная сама по себе», так как Аристотель считал аксиомой — положение удостоенное, принятое от космоса (природы), но постепенно определение слова аксиома сузилось до некоего утверждения, принимаемого на веру.

Изображение Аристотеля взято со страницы Аристотель «Афинская полития» сайта ogurcova-portal.com

Способность как-то разделять окружающие предметы и явления на опасные, нейтральные и полезные в разной степени присуща всякому живому существу, иначе оно просто не выживет в окружающем мире. Человеческий род развил эту классификацию до размеров науки, когда свойства явлений изучаются специально. Причем цель науки, на которую человечество тратит большие средства, не в самом изучении, а в прогнозировании, чего ждать и как поступать людям в том или ином случае. По сути, наука - есть инструкция для людей, если они попадут в ситуацию, которую какой-то учёный уже изучил или смог спрогнозировать.

Порядок в дисциплинах науки - которые я определил как "инструкции" для всего человечества - зависит от классификации - т.е. разделения всех явлений по каким-то свойствам. Именно признаки позволяют ЛЮДЯМ отнести конкретное явление к определенному множеству (воображаемому, так как кроме в самой природе классификацию проводить некому), в котором все явления имеют некие общие свойства. И тут у людей появилась проблема - ведь сознание находится вне реального мира, оно имеет ограничения и оперирует неким счетным множеством уже известных символов. Даже если явление новое, то не откуда взяться новому языку описания, поэтому для описания нового явления используются описания уже известных и ранее проклассифицированных явлений. Люди постоянно "наводят" (индуцируют) прежний опыт на явления, с которыми они встречаются впервые. Поэтому в основу системы представлений о мире кладутся самые основные вещи - вода, огонь, камень и т.п., свойства которых служат основой для описания свойств любых иных предметов и явлений. Ведь вольно или невольно, но каждый человек знаком с этими опорными явлениями и имеет собственное опытное знание их основных признаков.

Аксиоматический подход

Дело в том, что реальный мир живет по законам вероятности и в нем случаются аномалии, которые стали основными предметами изучения современной науки. В результате ученые отказались от такого "естественного" метода доказательств, как индукция - вывод на основе череды наблюдений, поэтому положения современной теории научного знания многим покажутся непонятными и даже странными, так как не стыкуются с их привычными бытовыми представлениями, тем более, что аксиоматический подход сохраняется в математике, которая еще по старинке считается одной из естественных наук. Должен разочаровать читателей - так как современный взгляд на математику перевел ее в разряд - ЯЗЫКА для естественных наук. Какие либо опыты проводить в математике довольно странно - там действует чистая математическая логика, Все понятия математики уже сами по себе абстракция, тогда как аксиома в иных дисциплинах - есть договор между учеными, согласившимися считать некое положение истиной - т.е. аксиомой в неком жестком ядре преложенной теории. То есть аксиома принимается "истиной" не в силу какой-то ее внутренней сакрально-истинной сущности, а как некое утверждение, которое принимается "на веру" некоторой группой людей ради решения задач в выдвинутой гипотезе. Если эта гипотеза (теория) не сможет получить предсказательную силу, то возникает подозрение в "истинности" утверждений в наборе аксиом, составляющих жесткое ядро теории.

Аксиоматическое построение стало этапом в истории развитии науки, так как при расширении области познания выросло количество наблюдаемых аномалий, опровергающих старый аксиоматический метод познания природы. Аксиомы и основные понятия никуда не делись - просто ученые пришли к понимаю, что для людей абсолютная истина не достижима, но в конкретных случаях некие "похожие на истину" суждения надо просто принять на веру без доказательства. ЭТО - уже другая история, а ниже вы можете прочитать определение аксиома из основных словарей Рунета.

***

Далее: статья аскиома Википедия, взятая с сайта Википедия. Желающие могут перейти к оригиналу на сайт ВикипедиЯ.

Аксиома Википедия

Аксиоиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постулат — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматизация теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, ни истинность, ни ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).

Примеры аксиом

Аксиома выбора

Аксиома параллельности Евклида

Аксиома Архимеда

Аксиома объёмности

Аксиома регулярности

Аксиома полной индукции

Аксиома Колмогорова

Аксиома булеана

Примеры систем аксиом

Аксиоматика теории множеств

Аксиоматика вещественных чисел

Аксиоматика Евклида

Аксиоматика Гильберта

История

Впервые термин аксиома встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом.[1] В соответствии с критерием Поппера, лишь опровергающий пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждений теории делает верность системы аксиом лишь весьма вероятной.

См. также

Аксиома

Догмат

Концепция

Логика

Гипотеза

Формализм (математика)

Теорема Гёделя о неполноте

Система отсчёта

Факт

Теорема

Теория множеств

Теория категорий

Литература

Начала Евклида. Книги I—VI. М.-Л., 1950

Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948

Ссылки

Аксиома // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Примечания

↑ Перейти к: 1 2 Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.

↑ Клайн Морис. «Математика. Утрата определённости.» — М.: Мир, 1984.

↑ Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

***

Следующие определения слова аксиома взяты со страницы - Что значит слово аксиома из словарей на сайте Академик.

АКСИОМА это:

слово происходящее от греч. ἀξίωμα – удостоенное, принятое положение, от ἀξιόω – считаю достойным) – положение некоторой данной теории, которое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное; отправное; лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве аксиомы выбираются такие предложения рассматриваемой теории, которые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными, не вызывая сомнений в силу своей простоты и ясности.

Возникнув в Древней Греции, термин АСИОМА впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Эвклида прочно входит в геометрию. В средние века господство аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через нее и в обыденную жизнь. Аксиомой стали называть такое общее положение, которое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим еще от Платона, в прирожденности человеку таких основных истин, как математические аксиомы (представление математики как рядовой науки породило заблуждение человечества, так переносило построение математики на другие науки). Учение Канта об априорности последних, т.е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Построение Лобачевским неэвклидовой геометрии явилось первым крупным ударом по взгляду на аксиомы, как на вечные и непреложные "априорные" истины.

Критикуя взгляды Гегеля на логические аксиомы (на фигуры аристотелевских силлогизмов), Ленин писал: "практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" ("Философские тетради", 1947, с. 164). Именно в обусловленности многовековым человеческим опытом и практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки, – причина очевидности аксиом, рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем крушение взгляда на аксиомы как на "априорные" истины привело к раздвоению понятия аксиома. Все возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять, подобно Лобачевскому, одну аксиому другой, а также связанная с опытным происхождением аксиом - их относительность, зависимость от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве аксиомы такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях, – все это обусловило появление (а в наст. время в математике, особенно в математической логике) и господство понятия АКСИОМА в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие Аксиома в этом новом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. Аксиомы данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, которые при данном построении ее как дедуктивной теории (т.е. при данной ее аксиоматизации) принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны.

Более того, уже из опыта, например, построения различных неэвклидовых геометрий и их последующего истолкования и практического использования (см. Относительности теория) стала ясной невозможность при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности ее аксиом. Об истинности АКСИОМЫ некоторой теории можно говорить лишь в связи с той или иной интерпретацией системы АКИСИОМ этой теории, но даже вопрос о существовании интерпретации часто ставится уже после построения самой теории. Да и при наличии фиксированной интерпретации возникают глубокие трудности, связанные со сложностью самого понятия истинности и проявляющиеся при попытках логико-математического определения этого понятия в применении хотя бы к предложениям некоторой достаточно четко описанной теории. Эти трудности могли быть обнаружены лишь после того, как стало возможным говорить о математических описаниях самих теорий средствами развитого аппарата математической логики, позволяющего формализовать различные теории. С его созданием связано дальнейшее развитие, еще одно раздвоение понятия аксиома, появление третьего смысла этого термина. В формальном исчислении АКСИОМА является уже не предложением некоторой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нем формулы ("теоремы" этого исчисления).

См. также Метод аксиоматический и лит. к этой статье. А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

***

Что означает слово аксиома

(от греч. axioma — значимое, принятое положение) — исходное, принимаемое без доказательства положение к.-л. теории, лежащее в основе доказательств др. ее положений.

Долгое время термин АКСИОМА понимался не просто как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в особом доказательстве в силу его самоочевидности, наглядности, ясности и т.п. Так, Аристотель считал, что АКСИОМА (начала) не требуют доказательства по причине своей ясности и простоты. Древнегреческий математик Евклид рассматривал принятые им геометрические АКСИОМЫ как самоочевидные истины, достаточные для выведения всех других истин геометрии. Нередко АКСИОМЫ трактовались как вечные и непреложные истины, известные до всякого опыта и не зависящие от него, попытка обоснования которых могла только подорвать их очевидность.

Переосмысление проблемы обоснования АКСИОМ изменило и содержание самого термина АКСИОМА. АКСИОМА являются не исходным началом познания, а скорее его промежуточным результатом. Они обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: подтверждение последней есть одновременно и подтверждение ее АКСИОМ. Критерии выбора АКСИОМЫ меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими, учитывающими соображения краткости, удобства манипулирования, минимизации числа исходных понятий и т.п. В частности, в формальном исчислении, класс теорем которого уже известен, АКСИОМА — это просто одна из тех формул, из которых выводятся остальные доказуемые формулы. Если, однако, теория еще не определена однозначно, выбор ее АКСИОМ может диктоваться и содержательными соображениями.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

Аксиоматический метод — особый способ определения объектов и отношений между ними. Он используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.

Аксиоматический метод зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря «Началам» Евклида, появившимся около 330—320 до н.э. Евклиду не удалось, однако, описать в его «аксиомах и постулатах» все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. «Скрытые» допущения геометрии Евклида были выявлены только в Новейшее время Д. Гильбертом, рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т.д.

Аксиоматический метод является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности А.м. и невозможности полной формализации научного знания.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

***

АКСИОМА

(греч. — удостоенное, принятое положение, от о? — считаю достойным), исходное положение науч. теории, принимаемое в качестве истинного без логич. доказательства и лежащее в основе доказательства др. положений этой теории. Термин «А.» впервые встречается у Аристотеля. В истории познания А. обычно рассматривались как вечные и непреложные априорные истины, при этом упускалась из виду их обусловленность многовековым человеч. опытом, прак-тич.познават. деятельностью.

В совр. науке А.— это те предложения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках др. науч. теорий, либо посредством интерпретации данной теории. В отличие от содержат, науч. теории, А. в формальном исчислении — это просто одна из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы (теоремы этого исчисления).

см. также ст. Аксиоматический метода лит. к ней. Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

***

АКСИОМА

(от греч. axioma – значимость, требование) исходное положение, которое не может быть доказано, но в то же время и не нуждается в доказательстве, т. к. является совершенно очевидным и поэтому может служить исходным положением для др. положений (см. Дедукция). Логическими аксиомами являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего (см. Exclusi tertii principium), закон достаточного основания. Аксиоматика – учение об определениях и доказательствах в их отношении к системе аксиом.

Ср. Логистика. Философский энциклопедический словарь. 2010.

***

АКСИОМА

АКСИОМА (греч. αξίωμα—принятое положение)—предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений. Это общее понимание аксиомы всякий раз конкретизируется вместе с уточнением того, что понимается под предложением, причиной и под дальнейшими рассуждениями.

Типичные примеры аксиом:

• 1) некоторое выражение символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом—само определение рассматриваемого исчисления. Здесь сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны;
• 2) некоторая эмпирическая гипотеза, если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы—вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны;
• 3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное суждение. Это тот, случай, когда под дальнейшими рассуждениями понимается вывод заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения;
• 4) утверждение, оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимался какая-либо систематически развиваемая доктрина, претендующая на совершенство в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, метафизика Декарта, этика Спинозы, наукоучение Фихте, метаматематика Гильберта и т. д.) В этом случае причина принятия аксиомы — свидетельство специальной познавательной способности (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, но вопрос об оправданности самой этой претензии— одна из самых глубоких и открытых проблем в философии.

К. Ф. Самохвалов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

Статья написан для пояснения положений рубрики НЕОКОНОМИКА и раздела Методология неокономики, и помещена мною в словарь Основные термины и понятия. Страница имеет постоянную ссылку: //design-for.net/page/aksioma