ординалистская теория полезности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Ординалистская (порядковая) теория полезности основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только сравниваться, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой. Альтернативой данной теории является кардиналистская (количественная) теория полезности.

Согласно ординалистской теории, невозможно измерить предельную полезность, так как потребитель измеряет не полезность отдельных благ, а полезность наборов благ. Возможности измерения поддаётся только порядок предпочтения наборов благ. Критерий ординалистской теории полезности предполагает упорядочение потребителем своих предпочтений относительно благ. Потребитель систематизирует выбор набора благ по уровню удовлетворения. Подобная систематизация даёт представление о предпочтениях потребителей в отношении набора благ. Однако она не даёт представления о различиях удовлетворения данными наборами благ. То есть с практической точки зрения потребитель может сказать, какой набор он предпочитает другому, но не может определить, насколько один набор предпочтительнее другого.

Авторами теории можно считать английского экономиста и статистика Фрэнсиса Эджуорта, итало-швейцарского социолога и экономиста Вильфредо Парето, американского экономиста и статистика Ирвинга Фишера. Теория приобрела широкое распространение после систематизации, проведённой в 1930-х годах в работах Роя Аллена и Джона Хикса.

Ординалистская теория базируется на следующих гипотезах:

Гипотеза полной упорядоченности: потребитель способен упорядочить все возможные товарные наборы с помощью отношений предпочтения или безразличия.

Гипотеза транзитивности: если потребитель предпочитает набор А набору В, а набор В набору С, то он предпочитает набор А набору С; соответственно, если набор А для потребителя равнозначен набору В, и набор В равнозначен набору С, то наборы А и С тоже для него равнозначны.

Гипотеза ненасыщения: при прочих равных условиях потребитель предпочитает большее количество данного блага меньшему его количеству.

Гипотеза рефлексивности: A ~ A.

Гипотеза выпуклости.

Гипотеза безразличия.

Теорема о невозможности «коллективного выбора»

Основная статья: Теорема Эрроу

См. также: Метод Шульце

Американский экономист Кеннет Эрроу в 1951 году сформулировал теорему[1], согласно которой в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Примечания

Теорема Эрроу

Далее ПЕРЕВОД с английского языка текста статьи Ordinal utility из англоязычной WikipediA — свободной энциклопедии/

В economics порядковая функция полезности - это функция, представляющая предпочтения агента на порядковой шкале. Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спросить, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько хорош. Вся теория принятия потребителем решений в условиях определенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Предположим, Джордж говорит:"Я предпочитаю А Б, А Б В". Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u такой что:

{\displaystyle u (A)=9,u (B)=8,u (C)=1}

Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственным смысловым посылом этой функции является порядок{\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}{\displaystyle u (A)>u (B)>>u (C)}; действительные числа бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v:

{\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}v (A)=9, v (B)=2, v (C)=1

Функции u и v обычно эквивалентны – они одинаково хорошо отражают предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности: последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B гораздо меньше, чем между B и C, в то время как в v верно обратное. Следовательно, u и v не являются кардинально эквивалентными.

Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 году.[1]

Содержание

1 Обозначение

2 связанные понятия

2.1 отображение кривых безразличия

2.2 выявленные предпочтения

3 необходимые условия существования порядковой функции полезности

4 непрерывность

5 уникальность

6 монотонность

7 предельная норма замещения

8 линейность

9 Квазилинейность

10 аддитивность с двумя товарами

10.1 свойство двойной отмены бронирования

10.2 соответствующее свойство компромиссов

11 аддитивность с тремя и более товарами

11.1 уникальность аддитивного представления

12 сравнение порядковых и кардинальных функций полезности

13 см. также

14 список литературы

15 внешние ссылки

Нотация

Предположим, что множество всех состояний мира есть {\displaystyle X}Икси агент имеет отношение предпочтения {\displaystyle X}Икс. Обычно слабое отношение предпочтения обозначают {\displaystyle \preceq }\preceq так{\displaystyle A\preceq B}A\preceq B: "агент хочет в по меньшей мере столько же, сколько и А".

Этот символ {\displaystyle \sim }\сим используется как сокращение отношения безразличия:{\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}{\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}, которое гласит: "агент безразличен между B и A".

Этот символ {\displaystyle \prec }\prec используется в качестве сокращенного обозначения сильного отношения предпочтения:{\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}{\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}, которое гласит: "агент строго предпочитает B а".

{\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }u:X\to {\mathbb {R}}

Говорят, что функция представляет отношение{\displaystyle \preceq }\preceq , если:

{\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}{\displaystyle A\preceq B\iff u (A)\leq u(B)}

Связанные понятия

Отображение кривых безразличия

Основная статья: indifference curve (кривая безразличия)

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически кривыми безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров, x и y. Тогда каждая кривая безразличия показывает набор точек{\displaystyle (x,y)}(x, y), таких что, если {\displaystyle (x_{1},y_{1})}(x_{1}, y_{1})и {\displaystyle (x_{2},y_{2})}(x_{2}, y_{2})находятся на одной кривой, то {\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2).

Пример кривой безразличия показан ниже:

indifference map

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количеств двух товаров или услуг, причем все эти комбинации в равной степени удовлетворяют потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательный от предельной скорости замещения X на Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменять хороший X на хороший Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпукла к началу координат, как показано на рисунке, предполагая, что потребитель имеет убывающую предельную скорость замещения. Можно показать, что анализ потребителей с кривыми безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на кардинальной полезности то есть потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цен на эти товары (принцип эквимаргинальности).

Выявленные предпочтения

Теория выявленных предпочтений обращается к проблеме наблюдения порядковых отношений предпочтений в реальном мире. Проблема теории выявленных предпочтений частично заключается в определении того, какие пакеты товаров были предрешены, на основе того, что они менее понравились, когда наблюдаются индивиды, выбирающие определенные пакеты товаров.[2] [3]

Необходимые условия существования порядковой функции полезности

Некоторые условия on {\displaystyle \preceq }\preceq необходимы для гарантии существования репрезентирующей функции:

• Транзитивность: если {\displaystyle A\preceq B}A\preceq Bи {\displaystyle B\preceq C}B \preceq Cтогда {\displaystyle A\preceq C}A \preceq C.
• Полнота: для всех пучков {\displaystyle A,B\in X}A, B\в X: либо {\displaystyle A\preceq B}A\preceq Bили {\displaystyle B\preceq A}B\preceq Aлибо оба.

• Полнота также подразумевает рефлексивность: для каждого {\displaystyle A\in X}A\in X: {\displaystyle A\preceq A}A \preceq A.

Когда эти условия выполнены и множество {\displaystyle X}Иксконечно, легко создать функцию {\displaystyle u}u, которая представляет {\displaystyle \prec }\prec собой просто присвоение соответствующего числа каждому элементу{\displaystyle X}Икс, как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечен. Кроме того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне {\displaystyle (-1,1)}(-1,1).[4]

Когда {\displaystyle X}Иксона бесконечна, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения являются транзитивными и полными, но они не могут быть представлены какой-либо функцией полезности.[4] необходимым дополнительным условием является непрерывность.

Непрерывность

Отношение предпочтения называется непрерывным, если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменят порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Для каждого {\displaystyle A\in X}A\in Xиз них множество {\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}\{(A, B)|A\preceq B\}топологически замкнуто в {\displaystyle X\times X}X\times Xтопологии продукта (это определение требует {\displaystyle X}Иксбыть топологическим пространством).

1. Для каждого {\displaystyle A\in X}A\in Xиз них множество {\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}\{(A, B)|A\preceq B\}топологически замкнуто в {\displaystyle X\times X}X\times Xтопологии продукта (это определение требует {\displaystyle X}Иксбыть топологическим пространством).
2. Для каждой последовательности{\displaystyle (A_{i},B_{i})}(A_i, B_i), если для всех i {\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}A_i\preceq B_i и {\displaystyle A_{i}\to A}A_i \to Aи{\displaystyle B_{i}\to B}B_i \to B, то {\displaystyle A\preceq B}A\preceq B.
3. Для каждого {\displaystyle A,B\in X}A, B\в Xтакого, что {\displaystyle A\prec B}A\prec Bсуществует шар вокруг {\displaystyle A}Одини шар вокруг {\displaystyle B}Бтакого, что для каждого {\displaystyle a}одинв шаре вокруг {\displaystyle A}Одини каждого {\displaystyle b}бв шаре вокруг{\displaystyle B}Б, {\displaystyle a\prec b}a\prec b(это определение требует{\displaystyle X}Икс, чтобы быть метрическим пространством).

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно явно непрерывно. Согласно теоремам Дебре (1954), верно и обратное:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтения может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например,{\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}{\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}, но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки С {\displaystyle x<5}xи эти точки уступают {\displaystyle (5,0)}(5,0). Это согласуется с тем фактом, о котором говорилось выше, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.

Уникальность

Для каждой функции полезности vсуществует уникальное отношение предпочтения, представленное v. Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же самые предпочтения могут быть выражены в виде любой функции полезности, представляющей собой монотонно возрастающее преобразование v. Например, если

{\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}v (A) \equiv f (v (A))

где {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v порождают идентичные отображения кривых безразличия.

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальна вплоть до возрастающего монотонного преобразования.

В отличие от этого, кардинальная функция полезности уникальна только до увеличения аффинного преобразования. Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также эквивалентны в обычном смысле, но не наоборот.

Монотонность

Предположим отныне, что множество {\displaystyle X}Иксесть множество всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Таким образом, элемент {\displaystyle X}Икспредставляет собой пару{\displaystyle (x,y)}(x, y), которая представляет собой количество, потребляемое из двух продуктов, например, яблок и бананов.

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения {\displaystyle \preceq }\preceq представляется функцией полезности {\displaystyle v(x,y)}v(x, y).

Предположим, что отношение предпочтения монотонно возрастает, что означает, что " больше всегда лучше":

{\displaystyle x

{\displaystyle y

Тогда обе частные производные, если они существуют, от v положительны. Короче говоря:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтений, то функция полезности монотонно возрастает.

Предельная норма замещения

Предположим, что у человека есть сверток {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_{0}, y_{0})и он утверждает, что ему безразлично, где этот сверток, а где сверток {\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}(x_0-\lambda\cdot\delta, y_0+\delta). Это означает , что он готов дать {\displaystyle \lambda \cdot \delta }\лямбда\cdot \ Дельтаединицы x, чтобы получить {\displaystyle \delta }\дельта единицы y. если это соотношение сохраняется как{\displaystyle \delta \to 0}\ Дельта\до 0, мы говорим, что {\displaystyle \lambda }\лямбда это предельная скорость замещения (MRS) между x и y в точке {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_{0}, y_{0}).[5]:82

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения – оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности и функция дифференцируема, то MRS может быть вычислена из производных этой функции:

{\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}{\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}.}

Например, если отношение предпочтения представлено {\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}v (x, y)=x^a\cdot y^bтогда {\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}MRS = \frac{a\cdot x^{a-1}\cdot y^b}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^a}=\frac{ay}{bx}. MRS-это то же самое для функции {\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}v (x, y)=a\cdot \log{x} + b\cdot \log{y}. Это не случайно, так как эти две функции представляют собой одно и то же отношение предпочтения – каждая из них представляет собой возрастающее монотонное преобразование другой.

В общем, миссис может быть разной в разных точках {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_{0}, y_{0}). Например, возможно, что у {\displaystyle (9,1)}(9,1)МРС низкий уровень, потому что у человека много х и только один у, но у {\displaystyle (9,9)}(9,9)или {\displaystyle (1,1)}(1,1)МРС выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.

Линейность

Когда MRS некоторого отношения предпочтения не зависит от расслоения, то есть MRS одинакова для всех{\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_{0}, y_{0}), кривые безразличия линейны и имеют вид:

{\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}{\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}

а отношение предпочтения может быть представлено линейной функцией:

{\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}{\displaystyle v (x,y)=x+\lambda y.}

(Конечно, то же отношение может быть представлено многими другими нелинейными функциями , такими как {\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}\sqrt{x+\lambda y}Или{\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}(x+\lambda y)^2, но линейная функция является простейшей.)[5]:85

Квазилинейность

Когда MRS зависит от{\displaystyle y_{0}}y_{0}, но не от {\displaystyle x_{0}}x_{0}, отношение предпочтения может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида

{\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}{\displaystyle v (x, y)=x+\gamma v_{Y}(y)}

где {\displaystyle v_{Y}}v_Yесть некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS является функцией{\displaystyle \lambda (y)}\лямбда(y), возможная функция {\displaystyle v_{Y}}v_Yможет быть вычислена как интеграл от {\displaystyle \lambda (y)}\лямбда(y):[6][5]:87

{\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}v_Y (y)=\int_{0}^{y}{\lambda(y') dy'}

В этом случае все кривые безразличия параллельны – это горизонтальные перемещения друг друга.

Аддитивность с двумя товарами

Более общим типом функции полезности является аддитивная функция:

{\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}v (x,y)=v_X (x)+v_Y(y)

Существует несколько способов проверить, представимы ли данные предпочтения аддитивной функцией полезности.

Свойство двойной отмены

Если предпочтения аддитивны, то простой арифметический расчет показывает, что

{\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}(x_1, y_1)\succeq (x_2, y_2) и

{\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}(x_2, y_3)\succeq(x_3, y_1) подразумевает

{\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}(x_1, y_3)\succeq(x_3, y_2)

таким образом, это свойство" двойной отмены " является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что это свойство также является достаточным: т. е. если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойной отмены, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности.[7]

Соответствующее свойство компромиссов

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

{\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}MRS(x_2, y_2)=\frac{MRS (x_1, y_2)\cdot MRS (x_2, y_1)}{MRS(x_1,y_1)}

таким образом, это свойство" соответствующих компромиссов " является необходимым условием аддитивности. Этого условия также достаточно.[8][5]:91

Аддитивность с тремя или более товарами

При наличии трех и более товаров условие аддитивности функции полезности оказывается на удивление проще, чем для двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960). Условием, необходимым для аддитивности, является преимущественная независимость.[5]:104

Подмножество а товаров считается предпочтительно независимым от подмножества в товаров, если отношение предпочтения в подмножестве а, заданное постоянными значениями для подмножества в, не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что существует три товара: x y и z. Подмножество {x,y} предпочтительно не зависит от подмножества {z}, Если для всех{\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}x_i, y_i, z, z':

{\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}(x_1, y_1, z)\preceq (x_2, y_2, z) \iff (x_1, y_1, z')\preceq (x_2, y_2, z').

В этом случае мы можем просто сказать, что:

{\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}(x_1, y_1)\preceq (x_2, y_2) для постоянной Z.

Преференциальная независимость имеет смысл в случае независимых товаров. Например, предпочтения между пачками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, которые есть у агента, и наоборот.

Согласно теореме Дебре, если все подмножества товаров предпочтительно независимы от их дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией стоимости. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую аддитивную функцию стоимости.[5] доказательство предполагает три товара: x, y, z. Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций значений {\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}v_{x}, v_{y}, v_{z}: 0 баллов, 1 балл и 2 балла. Другие точки могут быть вычислены аналогичным образом, и тогда непрерывность может быть использована для вывода, что функции хорошо определены во всем их диапазоне.

0 баллов: выберите произвольные {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}x_0, y_0, z_0и назначьте их в качестве нуля функции значения, т. е.:

{\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}v_x (x_0)=v_y(y_0)=v_z(z_0)=0

1 пункт: выберите произвольное {\displaystyle x_{1}>x_{0}}x_{1}>x_{0}такое, что {\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}(x_1, y_0, z_0)\succ(x_0, y_0, z_0). Установите его в качестве единицы измерения стоимости, т. е.:

{\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}v_x (x_1)=1

Выбирайте {\displaystyle y_{1}}y_{1}и {\displaystyle z_{1}}z_{1}такие, чтобы следующие отношения безразличия держались:

{\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}(x_1, y_0, z_0)\sim (x_0, y_1, z_0)\sim (x_0, y_0, z_1).

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z в соответствии с единицами X. Значение в этих трех точках должно быть равно 1, поэтому мы назначаем

{\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}v_y (y_1)=v_z (z_1)=1

2 пункт: теперь мы используем предположение о преференциальной независимости. Отношение между {\displaystyle (x_{1},y_{0})}(x_1, y_0)и {\displaystyle (x_{0},y_{1})}(x_0, y_1)не зависит от z, и точно так же отношение между {\displaystyle (y_{1},z_{0})}(y_1, z_0)и {\displaystyle (y_{0},z_{1})}(y_0, z_1)не зависит от x, а отношение между {\displaystyle (z_{1},x_{0})}(z_1, x_0)и {\displaystyle (z_{0},x_{1})}(z_0, x_1)не зависит от Y.

Следовательно

{\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}{\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}

Это полезно, Так как означает, что функция v может иметь одно и то же значение – 2 – в этих трех точках. Выберите {\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}x_2, y_2, z_2такое, чтобы

{\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}(x_2, y_0, z_0)\sim (x_0, y_2, z_0)\sim (x_0, y_0, z_2)\sim (x_1, y_1,z_0)

и назначить

{\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{x}(y_{2})=v_{x}(z_{2})=2.}{\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{x}(y_{2})=v_{x}(z_{2})=2.}

3 пункт: чтобы показать, что наши задания до сих пор последовательны, мы должны показать, что все точки, которые получают общее значение 3, являются точками безразличия. Здесь опять же используется предположение о преимущественной независимости, поскольку отношение между {\displaystyle (x_{2},y_{0})}(x_2, y_0)и {\displaystyle (x_{1},y_{1})}(x_{1}, y_{1})не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно,

{\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}(x_2, y_0, z_1)\sim(x_1, y_1, z_1)

и то же самое для других пар. Следовательно, точка 3 определяется последовательно.

Мы можем продолжить таким образом индукцию и определить функции для каждого товара во всех целых точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить ее во всех вещественных точках.

Неявное допущение, содержащееся в пункте 1 вышеприведенного доказательства, состоит в том, что все три товара являются существенными или предпочтительными.[7]:7 это означает, что существует такая связка, что, если количество определенного товара увеличивается, новая связка строго лучше.

Доказательство для более чем 3 товаров Аналогично. На самом деле, нам не нужно проверять, что все подмножества точек предпочтительно независимы; достаточно проверить линейное число пар товаров. Например, если существуют {\displaystyle m}мразличные товары {\displaystyle j=1,...,m}j=1,...,м, то достаточно проверить , что для всех {\displaystyle j=1,...,m-1}j=1,...,М-1эти два товара {\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}\{x_j, x_{j+1}\}предпочтительно независимы от других {\displaystyle m-2}м-2товаров.[5]:115

Уникальность аддитивного представления

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции похожи: они не только увеличивают монотонные преобразования друг друга (как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение); они увеличивают линейные преобразования друг друга.[7]:9 короче говоря,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальна вплоть до возрастающего линейного преобразования.

Сравнение между порядковыми и кардинальными функциями полезности

Уровень измерения

Представляет предпочтения на

Уникальный до

Существование доказано

В основном используется

Порядковая полезность

Порядковая шкала

Уверенные результаты

Увеличение монотонного преобразования

Дебре (1954)

Потребительская теория под определенностью

Количественная полезность

Интервальная шкала

Случайные исходы (лотереи)

Увеличение монотонного линейного преобразования

Von Neumann-Morgenstern (1947)

Теория игр, выбор в условиях неопределенности

See also

• Preference (economics)
• Multi-attribute utility
• Consumer theory
• Marginal utility
• Lattice theory
• Convex preferences

References

^Pareto, Vilfredo (1906). "Manuale di economia politica, con una introduzione alla scienza sociale". Societa Editrice Libraria.

Chiaki Hara (6 June 1998). "Revealed Preference Theory". 7th Toiro-kai meeting (1997/1998).

Botond Koszegi; Matthew Rabin (May 2007). "Mistakes in Choice-Based Welfare Analysis" (PDF). American Economic Review: Papers and Proceedings. 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381. doi:10.1257/aer.97.2.477. Archived from the original (PDF) on 2008-10-15.

Ariel Rubinstein, Lecture Notes in Microeconomic Theory, Lecture 2 – Utility

Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisions with Multiple Objectives. ISBN 978-0-521-44185-8.

^Peter Mark Pruzan and J. T. Ross Jackson (1963). "On the Development of Utility Spaces for Multi-Goal Systems". Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift.

Bergstrom, Ted. "Lecture Notes on Separable Preferences" (PDF). UCSB Econ. Retrieved 18 August 2015.

Luce, R.Duncan; Tukey, John W. (1964). "Simultaneous conjoint measurement: A new type of fundamental measurement". Journal of Mathematical Psychology. 1: 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018. doi:10.1016/0022-2496(64)90015-x.

External links

Lexicographic preference relation cannot be represented by a utility function. In Economics.SE

Recognizing linear orders embeddable in R2 ordered lexicographically. In Math.SE.

Murray N. Rothbard, "Towards a Reconstruction of Utility and Welfare Economics"

Categories: Utility